Alla fine ho preferito fare un conteggio senza considerare le simmetrie di partenza.
Si parte dalla casella centrale (indicata con la lettera C), per cui la prima mossa può essere fatta in uno delle 4 caselle d'angolo (indicate con la lettera A) o in una delle 4 caselle ai lati (indicate con la lettera L).
Se il re si trova su una casella A, la mossa successiva può essere o verso le 2 L adiacenti o verso C.
Se il re si trova su una casella L, la mossa successiva può essere o verso le 2 A adiacenti o verso C.
Indico con un "x2" o un "x4" il fatto che quel percorso va moltiplicato per il fattore riportato, proprio per indicare che simmetria di spostarsi su caselle dello stesso tipo.
Quindi i percorsi che portano alla sesta mossa nella casella C (ovvero alla quinta mossa in una casella A o L) e che partono con la prima mossa in una casella A sono:
Ax4 - Lx2 - Ax2 - Lx2 - Ax2 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Lx2 - Ax2 - Cx1 - Ax4 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Lx2 - Ax2 - Cx1 - Lx4 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Lx2 - Cx1 - Ax4 - Lx2 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Lx2 - Cx1 - Lx4 - Ax2 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Ax4 - Lx2 - Ax2 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Ax4 - Cx1 - Ax4 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Ax4 - Cx1 - Lx4 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Lx4 - Ax2 - Lx2 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Lx4 - Cx1 - Ax4 - Cx1 : 64 percorsi
Ax4 - Cx1 - Lx4 - Cx1 - Lx4 - Cx1 : 64 percorsi
Sarebbe interessate dimostrare questa costanza che, dato una qualunque sequenza tipo, il totale dei percorsi è 64.
In totale abbiamo 704 percorsi.
A questi dobbiamo aggiungere altrettanti percorsi aggiungendo le situazioni la cui prima mossa è verso una casella L.
Totale 1408 percorsi.
Se vogliamo togliere le simmetrie della prima mossa è sufficiente dividere per 4:
1408: 4 = 352 percorsi
Spero di essere stato chiaro e utile.